Читать ria.ru в

• Что такое округление чисел
• Правила округления натуральных чисел
• Округление десятичных дробей
• Приближенные значения с недостатком и избытком
• Примеры округления чисел
• Частые вопросы об округлении чисел
• Главное об округлении чисел

Округление — это замена точного числа близким к нему, но более простым для восприятия и вычислений. Общее правило, как округлять натуральные числа и десятичные дроби до разных разрядов, ответы на частые вопросы, которые помогут понять тонкости правила, — в материале РИА Новости.

Округление чисел — процесс замены точного значения числа наиболее близким, удобным и правильным числом, но с меньшей точностью. Результат округления называют приближенным значением и записывают через знак ≈ ("приблизительно равно"): 3,14159 ≈ 3,14.

Теорема Пифагора

Числа округляют по нескольким причинам:

• чтобы упростить расчеты;
• сделать число удобнее для восприятия;
• устранить избыточную точность измерения;
• быстро прикинуть результат в уме.

"Перед решением задачи полезно округлить данные и посчитать в голове: 197 × 41 ≈ 200 × 40 = 8000. Если после точного счета получилось 80 000 или 800, значит где-то потеряна запятая или разряд. Этому приему стоит учить с пятого класса — он ловит большую часть арифметических ошибок", — комментирует Александр Нестеров, преподаватель ЕГЭ по профильной математике, платформа "Сотка".

Как поясняет Мария Добрина, кандидат экономических наук, доцент кафедры моделирования и системного анализа в Финансовом университете при Правительстве РФ, неокругленное число иногда понимается обманчиво, чем округленное. Это приводит к отсутствию понимания реальной картины.

"Например, человеку 70 лет. Реакция — это так много. Другому человеку 69 лет. Восприятия может быть другим, хотя эти люди почти ровесники с психологической точки зрения. Вывод — иногда лучше округлить, чтобы информация была правильно понята", — говорит эксперт.

Общее правило одинаково для любого разряда: если цифра справа от него — 0, 1, 2, 3 или 4, разряд оставляют без изменений; если 5, 6, 7, 8 или 9 — разряд увеличивают на единицу. В обоих случаях все цифры справа заменяют нулями.

Можно действовать пошагово:

1. Определить разряд, до которого округляем. Подчеркнуть цифру в этом разряде.
2. Посмотреть на первую цифру справа от нее — ту, которую предстоит отбросить.
3. Если эта цифра 0, 1, 2, 3 или 4 — подчеркнутую цифру оставляем как есть. Если 5, 6, 7, 8 или 9 — увеличиваем подчеркнутую цифру на единицу.
4. Все цифры справа от подчеркнутой заменить нулями, если это натуральное число, или отбросить, если это дробная часть.

"Первый случай называют округлением с недостатком: результат меньше исходного числа. Второй — округлением с избытком: результат больше. Ключевой момент, который школьники упускают: смотреть нужно только на одну цифру, ближайшую справа. Число 2,449 при округлении до десятых дает 2,4: решает цифра 4, а следующие за ней 49 роли не играют. Попытка "округлять цепочкой" — сначала 2,449 до 2,45, потом до 2,5 — приводит к неверному ответу", — комментирует Александр Нестеров.

При округлении до десятков смотрим на цифру единиц. Число 347: цифра единиц 7, значит десятки увеличиваем, единицы заменяем нулем — получаем 350. Число 342: цифра единиц 2, десятки оставляем — получаем 340.

Если нужно округлить до сотен, смотрим на цифру десятков. Число 4 863: цифра десятков 6, сотни увеличиваем с 8 до 9, остальное нулями — 4 900. Число 4 829: цифра десятков 2, сотни оставляем — 4 800. До тысяч — смотрим на цифру сотен. Число 27 512: цифра сотен 5, тысячи увеличиваем — 28 000. Число 27 389: цифра сотен 3, тысячи оставляем — 27 000.

Важно! Отдельно стоит запомнить перенос через девятку. Число 1962 при округлении до сотен: цифра десятков — 6, значит сотни нужно увеличить с 9 до 10 — девятка превращается в ноль, а единица переходит в следующий разряд, и в итоге получается 2000, а не 1 1000 или 1000, как иногда пишут по ошибке.

При округлении десятичных дробей действует та же логика, но с одним отличием: цифры справа от нужного разряда не заменяют нулями, а просто отбрасывают.

Если нужно округлить до целых, смотрим на десятые: 7,4 ≈ 7; 7,5 ≈ 8; 12,83 ≈ 13.

При округлении до десятых смотрят на сотые: 3,142 ≈ 3,1; 3,167 ≈ 3,2. Перенос через девятку встречается и здесь: 0,95 при округлении до десятых дает 1,0 — ноль после запятой сохраняют специально, чтобы показать разряд, до которого выполнено округление.

Округление до сотых — смотреть на тысячные: 2,4562 ≈ 2,46; 2,4519 ≈ 2,45. При округлении до тысячных: 0,86751 ≈ 0,868.

Отдельное правило действует для округления денег: суммы округляют до копеек, т. е. до сотых — 149,997 рубля ≈ 150,00 рубля.

Иногда задача требует округления строго в одну сторону, а ближайшее значение тут не подходит. Поэтому применяют значение с недостатком — это результат, уменьшенный по сравнению с точным числом, или значение с избытком — увеличенный. Например:

• "Сколько автобусов нужно, чтобы перевезти 130 человек, если в автобус влезает 40?" Делим: 130 / 40 = 3,25. По общему правилу получилось бы 3, но тридцать человек останутся на улице. Округляем с избытком: нужно 4 автобуса.
• "Сколько полных упаковок по 6 штук получится из 40 предметов?" Делим: 40 / 6 ≈ 6,67. Здесь округляем с недостатком: 6 полных упаковок, четыре предмета в остатке.

"Такие задачи входят в первую часть ЕГЭ по базовой математике, и ошибка в них стоит целого балла. Совет ученику: после деления перечитать вопрос и спросить себя, что физически означает дробная часть", — рекомендует Александр Нестеров.

Примеры:

• Округлить 5 749 до сотен. Цифра десятков 4, сотни оставляем: 5 700.
• Округлить 5 749 до тысяч. Цифра сотен 7, тысячи увеличиваем: 6 000.
• Округлить 18,4499 до десятых. Смотрим на сотые, там 4: получаем 18,4.
• Округлить 0,0999 до сотых. Смотрим на тысячные, там 9, сотые увеличиваем с 9 до 10: получаем 0,10.
• Округлить 99,6 до целых. Десятые равны 6, целая часть увеличивается с 99 до 100.

В физике и химии округляют до количества значащих цифр, а разряд при этом не называют. Значащие цифры — все цифры числа, начиная с первой ненулевой слева. "Например, в числе 0,004 507 значащих цифр четыре: 4, 5, 0 и 7. Ведущие нули значащими не считаются. Округление до двух значащих цифр дает 0,0045. Правило нужно, когда числа очень большие или очень маленькие и разряд указывать неудобно", — комментирует Александр Нестеров.

Ответы на частые вопросы.

Цифра 5 находится ровно посередине между двумя соседними значениями разряда. Округление в большую сторону — общепринятое математическое соглашение, которое помогает избежать систематического занижения результатов при массовых расчетах.

Мария Добрина: "Девять заменять на 0, а единицу добавлять в старшем разряде. Если и там стоит 9, тогда снова 0 вместо 9 и единицу добавляется в еще более старший разряд и так далее, пока не округлится число".

Нет: если следующие цифры уже нули, число и так соответствует нужной точности, дополнительно округлять его не требуется.

При округлении чисел нужно смотреть только на одну цифру — ту, что стоит сразу справа от разряда округления: 0-4 оставляют разряд без изменений, 5-9 увеличивают его на единицу.

У натуральных чисел отброшенные цифры заменяют нулями, у десятичных дробей — просто убирают.

Результат округления — это уже не точное, а приближенное значение, поэтому вместо знака = после округления пишут ≈.